Приклади

Світ логіки

Примеры решения задач «Формы мышления»

Примеры решения задач «Алгебра высказываний»

Примеры решения задач «Логические функции»

Примеры решения задач «Логические выражения и таблица истинности»

Примеры решения задач «Законы и правила преобразования логических выражений «

Примеры решения логических задач

Примеры решения задач «Логические основы работы компьютера»

Поиск по этому блогу

№ 1.

Какие из этих предложений являются высказываниями?

1.    Москва – столица России
2.    Студент математического факультета педагогического университета
3.    Треугольник АВС подобен треугольнику А’В’С’
4.    Луна есть спутник Марса
5.    Кислород – газ
6.    Каша – вкусное блюдо
7.    Математика – интересный предмет
8.    Железо тяжелее свинца
9.    Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны
10.    Сегодня плохая погода
11.    Река Ангара впадает в озеро Байкал
12.    Который час?
13.    Красиво!

Ответ: 1, 4, 5, 8, 9, 11

№ 2.

Составьте сложное высказывание, используя простые:

А=«Сейчас идет дождь»
В=«Форточка открыта» с помощью логических связок

1. A и B
2. A или не B
3. если A, то B
4. не A и B
5. A тогда и только тогда, когда B

Ответ:
1.Сейчас идет дождь и открыта форточка.
2. Сейчас идет дождь или форточка закрыта.
3. Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.
4. Сейчас нет дождя и форточка открыта.
5. Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.

№3

Укажите, какие из высказываний истинны, какие – ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить:

1. Солнце есть спутник Земли
2.   2+3=4
3.   Сегодня отличная погода
4.   В романе Л.Н. Толстого «Война и мир» 3 432 536 слов
5. Санкт–Петербург расположен на Неве
6. Музыка Баха слишком сложна
7. Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек
8. Железо – металл
9. Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным
10.    Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей,    то он прямоугольный

Ответ:
Являются высказываниями: 1–л, 5–и, 8–и, 9–л, 10–и; 4, 7,.
Не являются высказываниями: 2; 3; 6.
Истинность трудно установить: 4;
Можно рассматривать и как истинное, и как ложное (в зависимости от требуемой точности представления): 7

№4

Запишите рядом с высказыванием его вид (общее, частное, единичное):

1.Некоторые мои друзья собирают марки.
2.Все лекарства неприятны на вкус.
3.Некоторые лекарства приятны на вкус.
4.Я — последняя буква в алфавите.

Ответ:
       1,3 — частные высказывания;
       2 — общее высказывание
       4 — частное высказывание

№1.

Определите значения следующих логических переменных:

1) А = « Два умножить на два равно пяти»
2) В = «Всякий квадрат есть параллелограмм»
3) С = «Всякий параллелограмм есть квадрат»

Ответ: А =0, В = 1, С = 0

№2.

Определите значение истинности следующих высказываний:

1)   Высказывание «10 делится на 2 и 5 больше 3»
2)   Высказывание «10 делится на 2 и 5 не больше 3»
3)   Высказывание «10 не делится на 2 и 5 больше 3»
4)   Высказывание «10 не делится на 2 и 5 не больше 3»

Ответ:
1)   истинное высказывание (1/\1=1)
2)    ложное высказывание(1/\0=0)
3)    ложное высказывание (0/\1=0)
4)    ложное высказывание (0/\0=0)

№3.

Запишите логические функции, соответствующие данным сложным высказываниям (в задании использовались строки из стихов А. С. Пушкина):

1). Мне вас не жаль, года весны моей.
2). На холмах Грузии лежит ночная мгла;
Шумит Арагва предо мною…
3). Унынья моего ничто не мучит, не тревожит.
4). Мне не спится, не огня;
Всюду мрак и сон докучный.

Ответ:
1)                 F(A) = не А
2)                  F(A, В) = А и В
3)                  F(A, В) = не А и не В
4)                  F(A, В, C, D) = не А и не В и С и D

№4.

Представьте данное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» в виде логической формулы.

Решение: Обозначим через А простое высказывание «Число 6 делится на 2» — истинное высказывание, через В — «Число 6 делится на 3»- истинное высказывание. Простые высказывания соединены связкой и (конъюнкция), очевидно логическая формула имеет вид А /\ В. Ее значение ((1/\1=1) — истина.

№5.

Даны два высказывания: А={3+2=5} и B={круг имеет форму прямоугольника}. Определите, чему равны составные высказывания:

1) А /\ B
2) A \/ B

Ответ:
1) 0
2) 1

№6.

Определите истинность составного высказывания: (¬А /\¬B) /\ (C \/ D), состоящего из простых высказываний:

А = {Принтер – устройство вывода информации},
В = {Процессор – устройство хранения информации},
С = {Монитор – устройство вывода информации},
D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.

Решение:
Сначала устанавливаем истинность простых высказываний: А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.
Затем определим истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций: (ø1/\ø0) /\ (1\/ 0) = (0 /\1) /\ (1 \/ 0) = 0
Ответ: (¬1/\¬0) /\ (1\/ 0) = (0 /\1) /\ (1\/ 0) = 0 — составное высказывание ложно.

№7.

Определите истинность составного высказывания:

«(2 * 2 = 4 /\ 3 * 3 = 10) \/ (2 * 2 = 5 /\ 3 * 3 = 9)» .

Решение
Замените простые высказывания логическими переменными и установите их истинность или ложность:
А: «2*2 = 4» — истинно (1),
В: «3*3 = 10 — ложно (0),
С: «2*2 = 5» — ложно (0),
D: «3*3 = 9» — истинно (1).

Замените также логические связки «и» и «или» операциями логического умножения и логического сложения. Тогда составное высказывание примет вид следующего логического выражения: (А /\ В) \/ (С /\ D).

Подставьте вместо логических переменных их логические значения и определите истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических функций:
(1/\ 0) \/ (0/\1) = 0 + 0= 0.
Ответ: составное высказывание ложно.

№1.

Запишите в виде логической формулы следующие высказывания:

1. Если Иванов здоров и богат, то он здоров.

2. Число является простым, если оно делится только на единицу и само на себя.

Решение:

1.Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:

А = «Иванов здоров»

В = «Иванов богат»

Запишем высказывание в виде логической формулы A/\B=>A

2. Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:

А = «Число является простым»

В = «Число делится только на единицу»

С=«Число делится на само себя»

Запишем высказывание в виде логической формулы B/\C=>A

№2.

Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква имени гласная => Четвертая буква имени согласная)?

1) Елена 2) Вадим 3) Антон 4) Федор

Решение:

Примеры решения задач "Логические функции"

F(A, B) = ¬ (A=> B)

По условию задачи функция F(A, B) истинна, следовательно, отрицание этой функции – ложно, т.е. высказывание (A=>B) – ложно. Полученное высказывание является импликацией и ложно только в том случае, когда выражение А истинно, а В — ложно (см. табл. истинности импликации). Следовательно, среди предложенных ответов следует искать тот, в котором первая буква имени гласная и четвертая буква имени также гласная. Этому условию удовлетворяет только имя АНТОН.

Ответ: 3

№ 3.

Для какого числа X истинно высказывание X>1 /\ ((X<5) => (X<3))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение:

По условию задачи F(A, B) истинна, следовательно, выражения А и В тоже должны быть истинны (см.табл.истинности конъюнкции), т.е.

Примеры решения задач "Логические функции"

Рассмотрим предложенные ответы, подставляя значения Х в неравенства и проверяя истинность полученных высказываний:

Ответ 1): 1 > 1 – ложь, что противоречит первому условию;

Ответ 2): 2 > 1 – истина, первое условие совпадает,

(2<5) => (2<3), или (истина) => (истина), что является истиной (см. табл. истинности импликации). Т. е. второе условие также совпадает;

Ответ 3): 3 > 1 – истина, первое условие совпадает,

(3<5) => (3<3) или (истина) => (ложь), что является ложью (см. табл. истинности импликации), это противоречит второму условию;

Ответ 4): 4 > 1 – истина, первое условие совпадает,

(4<5) => (4<3) или (истина) => (ложь), что является ложью (см. табл. истинности импликации), это противоречит второму условию

Ответ: 2

№1.

Докажите, что А <=> В равносильно (A\/ ¬B) /\ (¬A\/ B)

Для доказательства равносильности двух высказываний достаточно построить таблицу истинности для высказывания (A\/ ) /\ (\/ B) и сравнить ее с таблицей истинности эквивалентности:

Последние столбцы этих функций совпадают, значит, они равносильны. ЧТД.

№2.

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению

A /\ ¬ (¬B \/ C)

1) ¬A \/ ¬B \/ ¬C

2) A /\ ¬B /\ ¬C

3) A /\ B /\ ¬C

4) A /\ ¬B /\ C

Ответ: 3

№3.

Постройте таблицу истинности для логического выражения:

1)A=>B<=> ¬А \/ B

Ответ:

А	В	A=>B	¬А	A → B<=> ¬А	A → B<=> ¬А \/ B
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	1
1	1	1	0	0	1

2)F=A<=>B<=>(¬А \/ B) /\ (¬B\/ А)

Ответ:

Примеры решения задач "Логические выражения и таблица истинности"

№4.

Определите истинность следующего высказывания: «За окном светит солнце, и нет дождя».

Решение:

Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:

А = «За окном светит солнце»

В = «За окном дождь»

Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

F(A, B) = A /\ ¬B

построим таблицу истинности для данной логической функции.

A	B	¬B	A /\ ¬B
0	0	1	0
0	1	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0

Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое простое высказывание истинно, а второе ложно.

№5.

Определите истинность следующего высказывания: «Гости смеялись, шутили и не расходились по домам».

Решение:

Выделим из данного сложного высказывания простые высказывания:

А = «Гости смеялись»

В = «Гости шутили»

С = «Гости расходились по домам»

Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

F(A, B, С) = A/\ B /\¬C

Построим таблицу истинности для данной логической функции.

A	B	C	¬C	A /\ B/\¬C
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	0
1	0	0	1	0
1	0	1	0	0
1	1	0	1	1
1	1	1	0	0

Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое и второе простые высказывания истинны, а второе ложно.

№6.

На языке алгебры логики составьте истинное тождество, соответствующее заданному условию задачи:

Школьника, Миша, остававшийся в классе на перемене, был вызван к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчик ответили следующее: «Я не бил окно, и Коля тоже…»

Известно, что он либо сказал чистую правду, либо в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, либо оба факта исказил.

Решение:

Пусть

А = «Окно разбил Миша»

В = «Окно разбил Коля»

Если Миша сказал чистую правду, то¬А /\ ¬В = 1.

Если в одной части заявления Миша соврал, а другое его высказывание истинно, то (¬А /\ В) \/ (А /\¬В) = 1

Если Миша оба факта исказил, то А /\ В = 1.

Ответ:

Истинное тождество, соответствующее условию задачи будет выглядеть так: ¬А /\ ¬В \/¬А /\ В \/А /\ ¬ В \/ А /\ В = 1.

№1.

Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (А \/ ¬B)?

1)A \/ B 2)A /\ B 3) ¬A \/ ¬B 4) ¬A /\ B

Решение (вариант 1, использование законов де Моргана):

1) данное выражение представляет инверсию (отрицание) сложного высказывания, заданного в скобках. Раскроем скобки по закону де Моргана:

¬ (А \/ ¬B) = ¬А /\ ¬(¬B)

2) теперь воспользуемся законом двойного отрицания, по которому ¬(¬B) = В:

¬А /\ ¬(¬B) = ¬A /\ B

Ответ: 4

Решение (вариант 2, через таблицы истинности, если забыли формулы де Моргана):

Для доказательства равносильности логических выражений достаточно показать, что они принимают равные значения при всех возможных комбинациях исходных данных; поэтому можно составить таблицы истинности для исходного выражения и всех ответов и сравнить их:

А	В	¬А	¬B	А \/¬B	¬ (А \/ ¬B)	A\/ B	A/\B	¬A\/ ¬B	¬A/\B
0	0	1	1	1	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0	1	0	1	0
1	1	0	0	1	0	1	1	0	0

Очевидно, что таблицы истинности исходного выражения ¬ (А \/ ¬B) и выражения ¬A/\ Bсовпадают во всех строчках.

Ответ: 4

№2.

Упростить формулу (А \/ В) /\ (А \/С).

Решение:

Раскроем скобки: (А \/ В) /\ (А \/ С) = A /\ A \/ A /\ C \/ B /\ A \/ B /\ C;
По закону идемпотентности A/\A=A, следовательно,
A /\ A \/ A /\ C \/ B /\ A \/ B /\ C = A \/ A /\ C \/ B /\ A \/ B /\ C;
В высказываниях А и А /\ C вынесем за скобки А и используя свойство А \/ 1= 1, получим
A \/A /\ C \/B /\ A \/ B /\ C = A /\ (1 \/ C) \/ B /\ A \/ B /\ C = A \/ B /\ A \/ B /\ C;
Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А.
A \/ B /\ A \/ B /\ C = A /\ (1 \/ B) \/ B /\ C = A \/ B /\ C.

Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний — все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

№1.

Кто из учеников Саша, Сергей, Дима и Андрей играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

а) если Саша и Сергей играет, то Дима не играет;

б) если Сергей не играет, то играют Дима и Андрей;

в) Дима играет?

Решение: Определим следующие простые высказывания:

А – «Саша играет в шахматы»;

В – «Сергей играет в шахматы»;

С – «Дима играет в шахматы»;

D – «Андрей играет в шахматы».

Запишем сложные высказывания, выражающие известные факты:

а) F₁=(А \/ B) =>¬C;

б) F₂=¬B => (С /\ D);

в) F₃=C .

I способ: Запишем и упростим произведение указанных сложных высказываний:

((A \/ B) =>¬C) /\ (¬B => (С /\ D)) /\ С.

II способ: Составим таблицу истинности:

A	B	F₃=C	D	¬C	A \/B	F₁=(A \/B) =>¬C	¬B	С /\D	F₂=¬B => (С /\D)
0	0	0	0
0	0	0	1
0	0	1	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	0	1
0	1	1	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	0	1
1	1	1	0
1	1	1	1

При F₁= F₂= F₃= 1 значения переменных соответствуют: А = 0, В = 0, С = 1, D = 1.

Ответ: в шахматы играют ученики Дима и Андрей, а Саша и Сергей – не играют.

№2.

«Ваза» Условие задачи:

Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

‑ Кто это сделал? ‑ спросила мама.

‑ Коля не бил по мячу, ‑ сказал Саша. ‑ Это сделал Ваня.

Ваня ответил: ‑ Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.
‑ Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, ‑ рассердилась мама. ‑ Ну, а ты что скажешь? ‑ спросила она Колю.
‑ Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, ‑ сказал Коля.
Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду.

Кто разбил вазу?

Решение (способ 1,алгебраический):

Обозначим высказывания:

А = «Коля разбил вазу»

В = «Ваня разбил вазу»

С = «Саша разбил вазу»

D = «Коля сегодня сделал уроки»

Согласно условию задачи, один из мальчиков солгал, а двое других говорили правду. Поэтому, если мы сложим записи истинного и ложного высказываний, составленных для каждого мальчика, то получим истинное высказывание.

Из слов Саши следует, что (¬А /\ B) \/ (А /\¬B) истинно;

Из слов Вани следует, что (А /\¬C) \/ (¬А /\ C) истинно;

Из слов Коли следует, что (¬В /\¬D) \/ (В /\ D) истинно.

Следовательно, истинна и конъюнкция

((¬А /\ B) \/ (А /\¬B)) /\ ((А /\¬C) \/ (¬А /\ C)) /\ ((¬В /\¬D) \/ (В /\ D)) = 1

Раскрывая скобки, получим:

((¬А /\ B) \/ (А /\¬B)) /\ ((А /\¬C) \/ (¬А /\ C)) /\ ((¬В /\¬D) \/ (В /\ D)) =

(¬AB \/A¬B) /\ (A¬C \/¬AC) /\ (¬B¬D \/ BD) = (A¬B¬C \/¬ABC) /\ (¬B¬D \/ BD) =

A¬B¬C¬B¬D \/¬ABC¬B¬D \/ A¬B¬CBD \/¬ABCBD = A¬B¬C¬D \/¬ABCD =

= A¬B¬C¬D = 1, следовательно, А=1. Т.е. Коля разбил вазу.

Ответ: Коля

Решение (способ логических рассуждений)

Предположим, что Саша сказал правду: Коля не разбивал вазу, вазу разбил Ваня. Из двух оставшихся мальчиков кто-то дважды солгал. Допустим, Ваня тоже сказал правду: Коля разбил вазу, Саша вазу не разбивал. Но это противоречит словам Саши. Тогда допустим, что Ваня дважды солгал. Тогда получается, что Коля не разбивал вазы, а вазу разбил Саша. Но это снова противоречит словам Саши. Следовательно, дважды солгал именно Саша, а Ваня и Коля говорили правду, т.е. вазу разбил Коля.

Ответ: Коля

№3.

Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба эти языка. Английский язык изучают 25 человек, французский — 27 человек, а то т и другой — 18 человек. Сколько всего учеников в классе?

Решение с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Примеры решения логических задач

Английский язык изучают 7 учеников, французский — 9, и то т и другой 18, получаем, что всего в классе 7+9+18 = 34 ученика в классе.

Ответ: в классе 34 ученика.

№4.

«Сосуд» Условие задачи:

Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по 2 предположения:

Алеша: «Этот сосуд греческий и изготовлен в V веке».

Боря: Этот сосуд финикийский и изготовлен в III веке».

Гриша: «Этот сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений.

Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Решение:

При решении задач с помощью таблицы можно рассуждать так:

Пусть

Алеша: «Этот сосуд греческий и изготовлен в V веке» = А.

Боря: Этот сосуд финикийский и изготовлен в III веке» = Б.

Гриша: «Этот сосуд не греческий и изготовлен в IV веке» = Г.

	3 век	4 век	5 век
греческий	А, Б	А, Г
финикийский	Г	Б	А, Б, Г

Вывод: сосуд финикийский изготовлен в 5 веке.

Ответ: сосуд финикийский изготовлен в 5 веке.

№1.

Дана логическая функция: F(А,В) = ¬ (А /\ В). Постройте соответствующую ей функциональную схему.

Решение:

Функциональная схема будет содержать 2 входа А и В. Рассмотрим логическое выражение и определим порядок действий в нем:

1) первым выполняется логическое умножение А /\ В, следовательно, сигналы с входов А и В подаются на конъюнктор;

2) далее выполняется логическое отрицание ¬(А /\ В), следовательно, сигнал, полученный на выходе из конъюнктора должен быть инвертирован, т.е. подан на инвертор.

Выход инвертора является выходом функциональной схемы.

Изобразим схему, следуя данным действиям:

Примеры решения задач "Логические основы работы компьютера"

№2.

Определите логическую функцию, соответствующую заданной функциональной схеме:

Решение:

Функциональная схема содержит 2 входа А и В. Вход А инвертирован и его выход является входом дизъюнктора. Вход В подает сигнал на дизъюнктор. Выход дизъюнктора является выходом функциональной схемы.

Итак, последовательность действий:

1) ¬A — сигнал входа А инвертирован;

2) ¬A \/ B — на дизъюнктор подают инвертированный сигнал входа А и нормальный входа В.

Выход дизъюнктора является выходом функциональной схемы. Следовательно, логическая функция F –это функция двух переменных А и В и имеет вид:

F(A, B) = ¬A \/ B

Ответ: F(A, B) = ¬A \/ B

№3.

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению и найдите значение логического выражения: F=A\/B/\ ¬C, если А=1, В=1, С=1.

Решение:

Значение логического выражения — 1

Примеры решения задач "Логические основы работы компьютера"

№4.

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению и найдите значение логического выражения: F= ¬(A\/B/\C),если А=0, В=1, С=1.

Решение:

Значение логического выражения — 1

(A\/¬B) /\ (¬A \/B)